TU Dresden RWTH Leibniz Institut Universität Hamburg

Erfolgreiche Verteidigung der Dissertation von Herrn Tom Görtzen

Am 17.07.2024 verteidigte Herr Tom Frederik Görtzen, M.Sc. erfolgreich seine wissenschaftliche Arbeit im Rahmen des Promotionsverfahrens mit dem Thema „Konstruktion simplizialer Flächen mit gegebenen geometrischen Randbedingungen“. Neben der Vorsitzenden der Promotionskommission, Prof. Dr. Arnold Reusken, (RWTH Aachen University), waren als Gutachter Prof. Dr. Alice Niemeyer (RWTH Aachen University), Prof. Dr. Daniel Robertz (RWTH Aachen University) und Prof. Dr. Ghislain Fourier (RWTH Aachen University) anwesend.

Abstract:

Simpliziale Flächen kodieren die Inzidenzbeziehungen zwischen Ecken, Kanten und Seiten triangulierter Flächen und bieten eine kombinatorische Beschreibung dieser Strukturen. Durch die Zuordnung eines dreidimensionalen Punktes zu jeder Ecke erhalten wir wieder eine Triangulation, die wir im Kontext dieser Arbeit als eingebettete simpliziale Fläche betrachten. Das Hauptziel dieser Arbeit ist die Konstruktion von simplizialen Flächen unter vorgegebenen geometrischen Einschränkungen, mit besonderem Schwerpunkt auf Symmetrie. Symmetrie kann in mathematischen Begriffen mit der Sprache der Gruppentheorie ausgedrückt werden. Ausgehend von einem geometrischen Objekt können wir dessen Automorphismengruppe bestimmen, indem wir alle Transformationen identifizieren, die das Objekt invariant lassen. Umgekehrt können wir aus gruppentheoretischer Perspektive Gruppen unabhängig untersuchen und erforschen, ob ein geometrisches Objekt existiert, dessen Automorphismengruppe einer gegebenen Gruppe entspricht. Das erste Hauptergebnis zeigt, dass wir für jede gegebene endliche Gruppe eine simpliziale Fläche konstruieren können, deren Automorphismengruppe isomorph zu dieser Gruppe ist. In speziellen Fällen können diese Ecken so eingebettet werden, dass eingebettete simpliziale Flächen mit gegebener Symmetrie entstehen. Darüber hinaus können eingebettete simpliziale Flächen andere symmetrische Eigenschaften charakterisieren. Zum Beispiel untersuchen wir Systeme von verriegelten dreidimensionalen Körpern, bekannt als topologische Verriegelungen, die ausschließlich auf ihren geometrischen Eigenschaften beruhen. Wir zeigen, dass die Theorie der planaren kristallographischen Gruppen angewendet werden kann, um eine Vielzahl von Verriegelungen zu konstruieren. Darüber hinaus entwickeln wir die mathematischen Grundlagen der Verriegelungen, einschließlich einer Definition, einer Methode zur Überprüfung der Verriegelungseigenschaft und vieler Beispiele. Außerdem ermöglicht die Erweiterung der Wirkung planarer kristallographischer Gruppen die Schaffung von Flächen mit doppelt periodischer Symmetrie. Eingebettete simpliziale Flächen können in verschiedenen Anwendungen nützlich sein. Im letzten Kapitel veranschaulichen wir, wie die Theorie der simplizialen Flächen im Kontext des 3D-Drucks angewendet werden kann: Selbst wenn anfängliche Modelle Degenerationen aufweisen, können wir sie modifizieren, um eine 3D-druckbare Datei zu erstellen. Durch diese Untersuchungen heben wir die praktische und theoretische Bedeutung simplizialer Flächen sowohl in der mathematischen Forschung als auch in technologischen Anwendungen hervor und unterstreichen ihre Vielseitigkeit und ihr Potenzial für zukünftige Entwicklungen.

Wir gratulieren Herrn Görtzen herzlich zum abgeschlossenen Promotionsverfahren und wünschen ihm alles Gute und viel Erfolg für sein Zukunft als Wissenschaftler.